Nedoločeni integral. Računanje nedoločenih integralov

Ena od temeljnih delih matematične analize je integralni račun. To zajema zelo široko področje objektov, kjer se prvo - to je nedoločeni integral. Položaj stoji kot ključ, ki je še vedno v srednji šoli razkriva vedno več možnosti in priložnosti, ki opisuje višje matematike.

videz

Na prvi pogled se zdi povsem sestavni del moderne, aktualna, ampak v praksi se izkaže, da se je vrnil v 1800 pred našim štetjem. Domov uradno šteje Egipt kot je dosegla nam ni prej dokaz o njenem obstoju. Prav zaradi pomanjkanja informacij, obenem pa postavljen le kot fenomen. On je še enkrat potrjuje raven znanstvenega razvoja narodov teh časih. Nazadnje je bilo ugotovljeno, da dela starogrških matematikov, dating iz 4. stoletja pred našim štetjem. Opisujejo metodo, kjer je bila nedoločeni integral, katere bistvo najti prostornina ali območje na ukrivljeno obliko (tridimenzionalna in dvodimenzionalni ravnini, v tem zaporedju). Izračun je temeljil na načelu delitve originalni sliki v neskončno komponent, pod pogojem, da se je obseg (območje), je že znano, da jih. Sčasoma, metoda je zrasel, Arhimed ga uporablja, da bi našli prostor parabole. Podobne izračune hkrati za izvedbo vaj v starodavni Kitajski, kjer so bili popolnoma neodvisni od grške kolegi znanosti.

razvoj

Naslednji preboj v DP v XI stoletja je postalo delo arabskega učenjaka"vagon" Abu Ali al-Basri, ki premika meje že znano, so bili pridobljeni iz integralnega formulo za izračun vsote zneskov in stopinj od prvega do četrtega, ki se uporablja za to je znano, da nas indukcija metoda.
Glavah danes so občudovali stari Egipčani ustvaril neverjetno spomenikov brez posebnih orodij, razen iz svoje roke, vendar je ni moč nori znanstveniki v času nič manj čudež? V primerjavi s sedanjih časih svojega življenja se zdi skoraj primitivno, vendar je odločitev o nedoločenih integralov sklepati povsod in se uporabljajo v praksi za nadaljnji razvoj.

Naslednji korak je potekala v XVI stoletju, ko je italijanski matematik Cavalieri prinesel nedeljiva metodo, ki je pobrala Pierre de Fermat. Ti dve osebnosti postavil temelje za sodobni integralni račun, ki je znana po tem trenutku. So vezani pojma diferenciacije in integracije, ki so bile prej videti kot izoliranih enot. Na splošno, matematika tistem času je bil razdrobljene delce obstajajo ugotovitve same po sebi, z omejeno uporabo. Način, da se združijo in našli sporno je res samo v tem trenutku, zaradi njega, sodobna matematična analiza Imel sem priložnost za rast in razvoj.

S časom vse spremeni in sestavni simbol, kot tudi. Na splošno je bila določena znanstveniki, ki na svoj način, na primer, Newton, ki se uporabljajo s peto ikono, ki je dal tudi integrabilna funkcija, ali pa preprosto skupaj. Ta razlika je trajala do XVII stoletja, ko je mejnik za celotno teorijo matematične analize znanstvenika Gottfried Leibniz uvedla tak značaj znano za nas. podolgovato "S" To je dejansko temelji na tem pismu Latinici, To pomeni vsoto kot gradnikov. Ime integral dobimo zahvaljujoč Jakob Bernoulli, po 15 letih.

Video: Sarbasova ND Osnovne metode za izračun nedoločeni integral

Formalna definicija

Nedoločeni integral je odvisno od definicije primitivni, zato menijo, da je na prvem mestu.

Nedoločenega - je funkcija inverzna derivata, v praksi se imenuje primitivno. Z drugimi besedami: primitivni funkcija d - je funkcija D derivat, ki je proti <=> V` = v. Поиск первообразной есть вычисление неопределенного интеграла, а сам этот процесс именуется интегрированием.

primer:

Funkcijo S (y) = Y³, in njene primitivne S (y) = (y⁴/ 4).

Nabor vseh gradnikov v funkciji - to je nedoločeni integral, je imenovana na naslednji način: &INT-V (x) dx.

Glede na to, da je V (x) - To so nekatere od prvotnih primitivnih funkcij, obstaja pregovor: &INT-V (x) dx = V (x) + C, pri čemer C - konstantno. Pod arbitrarno konstanto nanaša kateremkoli konstantna, saj je njegov derivat nič.

lastnosti

Lastnosti z nedoločeni integral ima, v bistvu temelji na opredelitvi in ​​lastnosti derivatov.
Razmislite ključne točke:

• integral derivata sam primitivni primitivni plus poljubna konstanta C <=> &int-V`(x)dx = V(x) + C;
• Derivat integral funkcije ima prvotno funkcijo <=> (&int-v(x)dx)` = v(x);
• konstanta se vzame iz integral <=> &int-kv(x)dx = k&int-v(x)dx, где k - произвольно;
• integralni, ki izhaja iz vsote je identično enak vsoti integralov <=> &int-(v(y) + w(y))dy = &int-v(y)dy +&int-w(y)dy.

Zadnji dve lastnosti lahko sklepamo, da je nedoločeni integral linearen. Zaradi tega imamo: &int- (kv (y) dy +&int- LW (y)) dy = K&INT-V (y) dy + l&INT-w (y) dy.

Če si želite ogledati primere določitvi rešitve, nedoločeno integralov.

Moraš najti integral &int- (3sinx + 4cosx) dx:

• &int- (3sinx + 4cosx) dx = &INT-3sinxdx + &INT-4cosxdx = 3&INT-sinxdx +4&INT-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Iz primera lahko sklepamo, da ne veste, kako rešiti z nedoločeno integralov? Samo najti vse primitivnih! Toda iskanje načel v nadaljevanju.

Video: nedoločeni integral - 5

Metode in primeri

Da bi rešili integral, lahko zatečejo na naslednje načine:

Video: Video lekcija za matematiko "Izračun integralov - 1"

• pripravljeni izkoristiti mizi;
• integracijo po delih;
• integriran z zamenjavo spremenljivke;
• sešteje v znamenju razlik.

mize

Najbolj preprost in prijeten način. V tem trenutku lahko matematična analiza ponaša zelo obsežne tabele, ki podrobneje razloženi osnovno formulo nedoločenega integrala. Z drugimi besedami, da so predloge, ki nastanejo do vas in vam lahko le izkoristiti jih. Tu je seznam glavnih namiznih položajih, ki jih je mogoče prikazati praktično vsak primer, ima rešitev:

Video: Matematika brez kakršnega koli xy% !. Integrali, del 1. primitivna. Diferenciacijo in integracijo.

• &INT-0dy = C, kjer je C - konstantno;
• &INT-dy = y + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (N + 1) + C, pri čemer C - konstantno, in n - število razlikuje od enotnosti;
• &int- (1 / y) dy = ln | Y | + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-e^ydy = e^y + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-k^ydy = (k^y/ Ln k) + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-cosydy = siny + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-sinydy = -cosy + C, pri čemer C - konstantno;
• &int-dy / cos²y = tgy + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-dy / sin²y = -ctgy + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-dy / (1 + y²) = Arctgy + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-chydy = sramežljiv + C, pri čemer C - konstantno;
• &INT-shydy = chy + C, pri čemer C - konstantno.

Če je potrebno, da nekaj korakih pripelje integrand na pogled tabele in uživajte zmago. primer: &INT-cos (5x -2) dx = 1/5&INT-cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

V skladu z odločitvijo, da je jasno, da na primer na mizo integrand nima multiplikator 5. smo jo dodali vzporedno s tem pomnoži s 1/5 splošni izraz ni spremenila.

Integracija iz delov

Razmislite dve funkciji - Z (Y) in je X (Y). Ti morajo biti stalno odvedljiva v njeni domeni. V enem diferenciacije lastnosti imamo: d (XZ) = xdz + ZDX. Povezovanje obeh straneh, dobimo: &INT-d (XZ) = &int- (xdz + ZDX) => zx = &INT-ZDX + &int-xdz.

Pisanje dobljene enačbe, dobimo enačbo, ki opisuje metodo povezovanja z deli: &INT-ZDX = ZX - &int-xdz.

Zakaj je to potrebno? Dejstvo, da je nekaj primerov, da je mogoče poenostaviti, recimo, da se zmanjša &INT-ZDX do &INT-xdz, če je ta v bližini obliki tabele. Prav tako lahko, ta formula je treba uporabiti več kot enkrat, za optimalne rezultate.

Kako rešiti nedoločenega integrala na ta način:

• potrebni za izračun &int- (i + 1) e-^2sds

&int- (x + 1) e-^2sds = {z = y + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((i + 1) e-^2s) / 2-1 / 2&INT-e^2sdx = ((i + 1) e-^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• potrebni za izračun &int-lnsds

&int-lnsds = {z = LNS, dz = ds / y, Y = S, dy = ds} = slns - &INT-y x ds / y = slns - &int-ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Zamenjava spremenljivko

To načelo reševanja nedoločeno integralov so v povpraševanju kot v prejšnjih dveh ne manj, čeprav zapleten. Postopek je naslednji: Recimo V (x) - integral neke funkcijo v (x). V primeru, da sama po sebi sestavni v primeru slozhnosochinenny prihaja, je verjetno, da bi dobili zmedeni in dol napačne rešitve poti. Da bi se izognili te spremembe prakse s spremenljivko x do Ž, v katerem splošni izraz vizualno poenostavljeno hkrati pa ohranja zv odvisnosti od x.

Zdi se, matematični jezik, kot sledi: &INT-V (x) dx = &INT-V (Y (Z)) y` (z) dz = V (z) = V (y^-1(X)), kjer je x = y (Z) - zamenjavo. In, seveda, funkcija inverzna z = y^-1(X) v celoti opisujejo razmerja in razmerja med spremenljivkami. Pomembno opozorilo - diferencial dx nujno nadomestiti z novim diferencialno DZ, saj je sprememba spremenljivke v nedoločen integral vključuje tako zamenjavo povsod, ne samo v integrand.

primer:

• morate najti &int- (y + 1) / (y² + 2S - 5) ds

Uporabljamo substitucijskega z = (y + 1) / (y²+2S-5). Nato dz = 2sds = 2 + 2 (S + 1) ds <=> (s+1)ds=dz/2. В итоге получаем следующее выражение, которое очень легко вычислить:

&int- (y + 1) / (y²+2s-5) ds =&int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | y²+2S-5 | + C;

• morate najti integral &INT-2^se^sdx

Video: Smo našli določen in nedoločen integral s pomočjo MathCad

Za rešitev Reportaža v naslednji obliki:

&INT-2^se^sds = &int- (2e)^sds.

Mi ga označujejo a = 2e (zamenjavo argument tega koraka ni, da je še vedno S), bomo dali našim videz zapletena sestavni osnovni obliki tabele:

&int- (2e)^sds = &INT-a^sds = A^s / LNA + C = (2e)^s / Ln (2e) + C = 2^se^s / Ln (2 + LNE) + C = 2^se^s / (LN2 + 1) + C.

Če povzamemo diferencialni znak

Na splošno je ta metoda nedoločenih integralov - dvojna brat načela spremembe spremenljivke, vendar obstajajo razlike v postopku registracije. Vzemimo podrobneje.

če &INT-V (x) dx = V (x) + C in Y = z (x), nato &INT-V (y) dy = V (Y) + C.

Hkrati pa ne smemo pozabiti na trivialnih integralske transformacije, med katerimi so:

• dx = d (x + a), in pri čemer - je vsak konstantna;
• dx = (1 / a), d (ax + b), kjer je - konstantna enkrat, vendar ni nič;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Če upoštevamo splošen primer, ko smo izračunali nedoločeni integral, lahko primeri zajeti pod splošno formulo w` (x) dx = dw (x).

primeri:

• morate najti &int- (2s + 3)²DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

&int- (2s + 3)²ds = 1/2&int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2S + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

&INT-tgsds = &int-grehi / cossds = &INT-d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

Spletna pomoč

V nekaterih primerih je lahko napaka, ki postane ali lenoba, ali pa nujno, lahko uporabite spletne pozive, ali bolje, da uporabite kalkulator za nedoločen čas integralov. Kljub navidezni zapletenosti in sporno naravo integralov, odločitev je odvisna od njihove posebne algoritem, ki temelji na načelu "če ne ... potem pa ...".

Seveda, a še posebej zapletena primeri take kalkulator ne bodo obvladali, saj obstajajo primeri, v katerih ima odločitev, da bi našli umetno, "prisilno" uvaja nekatere elemente v procesu, saj so rezultati očitne načine za dosego. Kljub sporno naravo te izjave, je res, kot matematika, načeloma abstraktna znanost, in njegov glavni cilj meni, da je treba usposobiti meje. Dejansko, za gladko teči, v teoriji je zelo težko premikati gor in se razvijajo, zato ne domneva, da so primeri reševanja nedoločeno integralov, ki nam je dal - to je višina priložnosti. Ampak nazaj na tehnično plat stvari. Vsaj preveriti izračune, ki jih lahko uporabite storitev, v katerem je bilo napisano za nas. Če je treba za samodejni izračun kompleksnih izrazov, potem ne bi bilo treba zateči k bolj resne programske opreme. Je treba paziti predvsem na okolju Matlab.

aplikacija

Odločitev nedoločenih integralov na prvi pogled zdi povsem ločen od realnosti, saj je težko videti očitnega uporabo ravnine. Dejansko jih neposredno uporabljati kjerkoli ne moreš, vendar so nujen vmesni element v procesu umika rešitev, ki se uporabljajo v praksi. Tako je integracija nazaj diferenciacije, tako aktivno sodeluje v procesu reševanja enačb.
Po drugi strani pa te enačbe imajo neposreden vpliv na odločitev mehanskih težav, izračun trajektorij in toplotno prevodnostjo - skratka, vse, kar predstavlja sedanjost in oblikovanju prihodnosti. Nedoločeni integral, primeri, za katere smo menili, zgoraj, trivialno le na prvi pogled, kot osnovo za izvedbo več in več novih odkritij.