Nihala: obdobje in pospešek s formulo

Video: Video lekcija za fiziko "Matematika in pomlad nihalo"

Mehanski sistem, ki je sestavljen iz materiala točke (v telesu), ki visi v breztežnostnem inextensible žarilno nitko (njegova masa je zanemarljiva v primerjavi s težo telesa) v enotno gravitacijskem polju, ki se imenuje matematično nihalo (drugo ime - oscilator). Obstajajo tudi druge vrste naprav. Namesto z žarilno breztežnostnem palice se lahko uporabljajo. Nihalo lahko jasno razkrije bistvo številnih zanimivih pojavov. Ko je majhna amplituda vibracije svoj predlog imenuje harmonična.

Splošne informacije o mehanski sistem

Formula obdobja nihanja nihala je bila vzgojena nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695 gg.). Ta sodobni Isaac Newton je bil zelo pri srcu mehanskega sistema. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z mehanizmom nihala. So merili čas, z izjemno natančnostjo za tiste čase. Ta izum je bil velik korak v razvoju fizikalnih poskusov in praktičnih aktivnosti.

Če je nihalo v ravnotežni položaj (visi navpično), pri čemer teža je uravnoteženo z močjo napetosti nit. Stanovanje nihalo na ne-raztegljive preje je sistem z dvema stopinj svobode komuniciranja. Pri menjavi le eno komponento spreminja značilnosti vseh njegovih delov. Na primer, če se nit nadomesti s palico, potem je to mehanski sistem je samo 1 stopnjo svobode. Kaj torej lastnosti matematičnega nihala? V tej preprosti sistem, pod vplivom periodične motnje, se pojavi kaos. V tem primeru, ko je prekinitev točke ne gibljejo, in niha nihalo je novo ravnotežje položaj. Če hitra nihanja gor in dol ta mehanski sistem postane stabilen položaj "na glavo." Ima tudi svoje ime. To se imenuje Kapitza nihalo.

Lastnosti nihala

Nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vsi izmed njih so podprte znanih fizikalnih zakonov. Obdobje nihanja nihala kateremkoli drugem odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in obliko telesa, razdalja med točko suspenzije in težišča, razporeditev teže glede na to točko. To je razlog, zakaj je definicija visi obdobju telesno precej zahtevna. Je veliko lažje izračunati obdobje preprostega nihala, katerega formula je določeno spodaj. Zaradi upoštevanja teh vzorcev se lahko določi na podobnih mehanskih sistemov:

• Če hkrati pa ohranja enako dolžino nihala, suspendiran iz različnih obremenitvah, je obdobje nihanja dobili enako, čeprav bo njihova teža zelo razlikujejo. Zato je čas nihala ni odvisna od teže bremena.

• Če sistem začne upadati v nihala ni prevelika, vendar različnih kotov, bo nihajo z isto obdobje, vendar ob različnih amplitud. Medtem ko odstopanja od centra ravnotežja ne bo preveč velika nihanja v njihovi obliki dovolj blizu harmonično. Obdobje takega nihala ni odvisna od vibracijske amplitude. Ta lastnost mehanskega sistema se imenuje isochronism (v grški "Chronos" - čas "Izosov" - enako).

Obdobje preprostega nihala

Ta številka predstavlja naravno obdobje nihanja. Kljub kompleksne formulacije, sam postopek je zelo preprost. Če je dolžina preje matematičnega nihala L, in gravitacijski pospešek g, je ta vrednost enaka:

T = 2&Pi&Radič-L / g

Mala obdobje naravnih nihanj v ničemer ni odvisna od mase nihala in amplitude nihanja. V tem primeru, kot matematično nihalo premakne z zmanjšano dolžino.

Nihanja matematičnega nihala

Matematična nihalo niha, kar se lahko opiše z navadno diferencialno enačbo:

Video: Demo različica OGE leta 2017 iz matematike, problem 20

x + &omega-2 sin x = 0,

kjer je x (t) - neznana funkcija (ta kot odklona od spodnjega položaja ravnotežja v času t, izražen v radianih) - &omega- - pozitivna konstanta, ki je določen s parametri nihala (&omega- = &Radič-g / L, kjer je g - pospešek gravitacije, in L - dolžina preprostega nihala (suspenzija).

Enačbi majhne oscilacije bližini ravnotežnega položaja (harmonska enačba), kot sledi:

x + &omega-2 sin x = 0

Nihajni gibanje nihala

Pendulum, ki omogoča majhne oscilacije, ki se gibljejo sinusoide. Druga razlika da enačba izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Za določitev poti, kar potrebujete, da nastavite hitrost in koordinate, ki se je kasneje določene neodvisne konstante:

x = A sin (&theta-₀ + &omega-T),

kjer je &theta-₀ - začetna faza A - amplituda nihanja, &omega- - ciklični frekvenca iz enačb gibanja.

Nihalo (formula za velike amplitudami)

Ta mehanski sistem, opravljajo svoje nihanja z veliko amplitudo, je predmet bolj zapletenih prometnih predpisov. so izračunane po formuli za takšno nihalo:

sin x / 2 = u * sn (&omega-T / U),

kjer sn - sine Jacobi, ki je za u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (&epsilon- + &omega-2) / 2&omega-2,

kjer je &epsilon- = E / ML2 (ML2 - Energija nihala).

Določanje nelinearnih obdobja nihanja nihala z naslednjo formulo:

T = 2&Pi /&omega-,

kjer je &omega- = &Pi / 2 * &omega- / 2K (u), K - eliptična integralni, &Pi - 3.14.

nihalo gibanje separatrix

To se imenuje separatrix tirnico dinamičnega sistema, v katerem je dvodimenzionalna faznem prostoru. Nihalo premakne na ne-redno. V neskončno daleč trenutku pade od skrajnega zgornjega položaja v smeri ničelne hitrosti, nato pa se postopoma uveljavlja. On je na koncu ustavil, vrača v prvotni položaj.

Če je amplituda nihanja nihala pristopi številko &Pi, to pomeni, da je gibanje v fazi ravnini blizu separatrix. V tem primeru pod vplivom manjšega periodičnega gonilna sila mehanskega sistema kaže kaotično obnašanje.

V primeru preprostega nihala od ravnotežni položaj s kotom &phi- pojavi tangencialna sila F teže&tau- = -mg sin &phi-. "Minus" znak pomeni, da je tangencialna komponenta usmerjen v nasprotno smer od smeri odklona nihala. Pri sklicevanju preko udarnega izpodrivanja x vzdolž krožnega loka s polmerom L enaka njegovi kotnega odmika &phi- = x / L. Drugi zakon Isaac Newton, namenjen za projekcije vektorja pospeška in trdnosti dobimo želeno vrednost:

mg &tau- = F&tau- = -mg sin x / L

Na podlagi tega razmerja, je jasno, da je nihalo nelinearni sistem, kot sila, ki se nagiba k vrne v ravnotežnem položaju, ni vedno sorazmerna premika x, greh x / L.

Šele ko je matematično nihalo opravlja majhne vibracije, je harmonično oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki lahko opravljajo harmonskih nihanj. Ta približek velja za skoraj kotom 15-20 °. Nihalo z velikimi amplitudami ni harmonično.

Newtonov zakon za majhne oscilacije nihala

Če je mehanski sistem opravlja majhnih nihanj, bo 2. Newtonov zakon izgleda takole:

mg &tau- = F&tau- = -m * g / l * x.

Video: Alternativni izpeljava obdobju pomlad nihala nihanje

Na podlagi tega lahko sklepamo, da je tangencialni pospešek preprostega nihala sorazmerna z njegovim premikom z znakom "minus". To je pogoj, pri čemer sistem postane harmonično oscilator. Modul Faktor sorazmernosti med premikom in pospešek enak kvadrat kotne frekvence:

&omega-02 = g / L &omega-0 = &radic- g / L

Ta formula odraža naravno frekvenco manjših nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega

T = 2&Pi / &omega-0 = 2&Pi&radic- g / L

Video: Fizično nihalo.

Izračuni temeljijo na zakonu ohranjanja energije

Lastnosti nihajnimi gibanja nihala lahko opišemo s pomočjo zakona o ohranitvi energije. Treba je opozoriti, da je potencialna energija nihalo v gravitacijskem polju je:

E = mg h = MGL (1 - cos &alfa) = mgL2sin2 &alfa / 2

skupaj mehanska energija To je enaka kinetični in največji potencial: Epmax = Ekmsx = E

Ko ste napisali zakon o ohranjanju energije, pri čemer je derivat po levi in ​​desni strani enačbe:

Ep + Ek = konst

Ker je odvod konstante enak 0, (Ep + Ek) '= 0. Derivat vsote enak vsoti derivatov:

Ep` = (mg / l * X2 / 2) '= mg / 2L * 2x * x` = mg / l * V + Ek` = (MV2 / 2) = m / 2 (V2)' = m / 2 * 2v * v` = MV * &alfa,

zato:

Mg / l * XV + MVA = v (mg / l * x + m &alfa) = 0.

Na podlagi zadnjega formulo smo našli: &alfa- = - g / l * x.

Praktična uporaba matematičnega nihala

pospešek Freefall To se spreminja glede na širino, saj je gostota skorje okoli planeta ni enak. Kje kamnine nastanejo z višjo gostoto, bo nekoliko višja. Pospešitev matematičnega nihala se pogosto uporabljajo za raziskovanje. V svojem pomoč videza različnih mineralov. Preprosto štetje števila nihanj nihala, je mogoče zaznati premoga ali rude v drobovje zemlje. To je posledica dejstva, da imajo ti viri gostoto in težo več kot leži pod ohlapno skale.

Matematično nihalo s takimi uglednih znanstvenikov, kot so Socrates, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed uporablja. Mnogi od njih so verjeli, da lahko mehanski sistem vplivajo na usodo in življenje. Arhimed uporablja matematično nihalo s svojimi izračuni. Danes mnogi Okultisti in jasnovidci uporabljajo ta mehanski sistem za izvajanje svojih prerokb, ali iskanju pogrešanih oseb.

Slavni francoski astronom in znanstvenik, Flammarion za svoje raziskave tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedati odkritje novega planeta, nastanek Tunguska meteorit, in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno v Nemčiji (Berlin) je delal kot specializirani inštitut nihala. Danes, na primer raziskave ni na voljo München inštitut Parapsihologija. Njegovo delo z nihalom uslužbenci te institucije, imenovane "radiesteziey".