Enačba ravnine: kako narediti? Vrste letalo enačbe

Prostor letalo lahko definiramo na različne načine (ena pika in vektorskih je vektorskih in dve točki, tri točke, itd). To je s tem v mislih, lahko letalo enačba imajo različne vrste. Tudi pod določenimi pogoji lahko ravnina je vzporedna, pravokotna, seka itd Ob tem pa bo govoril v tem članku. Spoznali bomo, da je splošno enačbo ravnine in ne samo.

Običajna oblika enačbe

Recimo, da je prostor R₃, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ. Definiramo vektor &alfa-, ki se sprošča iz začetne točke O. do konca vektorja &alfa- pripravi ravnina P, ki je pravokotna nanjo.

Stojita P na poljubni točki Q = (x, y, z). Polmer Vektor točka Q znak črko p. V tem vektorski dolžini &alfa- enaka p = l&in alfa-I = (cos&alfa-, cos&beta, cos&gama).

Video: 13. Enačba črte v ravnini (formula)

To je enota vektor, ki se nanaša na tisti strani, kot tudi vektor &alfa. &alfa, &in beta &gama - so koti, ki se tvorijo med vektorjem in pozitivnih smeri osi vesoljsko x, y, z oz. Projekcija iz točke P na vektorja Q je konstanta, ki je enaka p (p) = p (p&GE-0).

Zgornja enačba je smiselna, kadar je p = 0. Edini ravnina P, v tem primeru bi križno O (&alfa = 0), ki je izvor in enotski vektor, izdano od točke O bo pravokotna P, čeprav njeni smeri, kar pomeni, da je vektor določi do oznake. Prejšnja enačba je naše letalo P, izražena v vektorski obliki. Toda zaradi svojih koordinat je:

P je večja ali enaka 0. Ugotovili smo ravnino enačbo v običajni obliki.

Splošna enačba

Če je enačba v koordinate pomnožimo s poljubnim številom, ki ni enaka nič, dobimo enačbo, ki ustreza to, da opredeljuje zelo letalo. To bo imel v naslednji obliki:

Tukaj, A, B, C, - je število istočasno različna od nič. Ta enačba se imenuje enačba splošni obliki ravnine.

Enačbe letalih. Posebni primeri

Enačba se na splošno lahko spremeni z dodatnimi pogoji. Razmislite o nekaterih izmed njih.

Predpostavimo, da je koeficient 0. To pomeni, da je ravnina vzporedna z vnaprej določeno os Ox. V tem primeru je oblika enačbe spremeni: Wu + Cz + D = 0.

Podobno bo obliko enačbe in se spreminjajo z naslednjimi pogoji:

• Prvič, če je B = 0, se enačba spremeni v Ax + cz + D = 0, ki bi kazali na vzporednost na osi Oy.
• Drugič, če C = 0, je enačba preoblikuje v Ax + By + D = 0, to je približno vzporedna z vnaprej določeno os Oz.
• Tretjič, če D = 0, se enačba prikazani kot Ax + By + Cz = 0, kar bi pomenilo, da je ravnina seka O (izvoru).
• Četrtič, če je A = B = 0, enačba spremembe CZ + D = 0, ki se bodo izkazali za paralelizem Oxy.
• Petič, če B = C = 0, enačba postane Ax + D = 0, kar pomeni, da je ravnina vzporedna z Oyz.
• Šestič, če je A = C = 0, enačba ima obliko Wu + D = 0, to je, da poročajo vzporednost Oxz.

Oblika enačbe v segmentih

V primeru, ko število A, B, C, D različna od nič, obliko enačbe (0) so lahko kot sledi:

x / a + y / b + Z / c = 1,

kjer je A = D / A, b = -D / b, c = D / C

Dobivamo kot rezultat enačbe ravnine v kosih. Opozoriti je treba, da bo ta ravnina seka x-os na točki s koordinatami (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), in Oz - (0,0, S).

Glede na enačba x / a + y / b + Z / c = 1, ni težko predstavljati ravnino umestitev glede na vnaprej določenemu koordinatnem sistemu.

Koordinate normalnega vektorja

Normalna Vektor N na ravni P ima koordinate, ki so koeficienti s splošno enačbo ravnine, t.j. N (A, B, C).

Da bi določili koordinate normalne n, je dovolj poznati splošne enačbe v ravnino.

Pri uporabi enačbo v segmentih, ki ima obliko x / a + y / b + Z / c = 1, kot pri uporabi splošne enačbe lahko zapišemo koordinate normalnem vektorja v ravnino: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Opozoriti je treba, da je normalno vektor pomoč za reševanje različnih težav. Najpogostejši problemi so sestavljeni v dokaz pravokotnih ali vzporednih ravninah nalogo iskanjem kotov med ravninama ali kotov med ravninami in ravnih črt.

Tip glede na ravnino enačbo in koordinati točke normalnega vektorja

Neničelno vektor n, pravokotna na dano ravnino, ki se imenuje normalno (normalno) na vnaprej določeno ravnino.

Recimo, da je v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) Oxyz nastavitev:

• točka m od koordinat (x, y, z);
• nič vektor n = A * i + B * j + C * k.

To je potrebno, da se izenačijo letalo, ki bo potekala skozi M pravokotno na normalno n.

V prostoru izberemo katerokoli poljubno točko in pomenita M (x, y, z). Naj polmer vektor vsako točko M (x, y, z) bo r = x * i + y * j + Z * K, in radij vektor točki M (x, y, z) - r = x * i + y * j + Z * K. Točka M bo pripadajo dano ravnino, ko je vektor M pravokotna na vektor mN. Pišemo stanje Ortogonalnost pomočjo skalarni produkt:

[M M, n] = 0.

Ker M M = r-r bo vektor enačba ravnine izgleda takole:

[R - R, n] = 0.

Ta enačba ima lahko tudi druge oblike. V ta namen so lastnosti skalarnim produktom, in pretvori na levi strani enačbe. [R - R, n] = [r, n] - [r, n]. Če [r, n] označena kot s, dobimo naslednjo enačbo: [r, n] - a = 0 ali [R, n] = y, ki izraža konstantnosti štrlin na normalni vektor za polmer-vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnino.

Sedaj lahko dobili koordinato zapisovalna tipa ravnina naša vektorska enačba [r - r, n] = 0. Ker r-r = (x-x) * i + (y-y) * j + (z-z) * K, in n = A * i + B * j + C * K, imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačba se oblikuje ravnino, ki poteka skozi točko pravokotno na normalno n:

A * (x-x) + B * (y-y), S * (z-z) = 0.

Tip glede na ravnino enačbi in koordinat dveh točk vektor ravnine kolinearni z

Določimo dve poljubni točki M '(h`, u`, z`) in M ​​(x, y, z), in vektor (a` a, b).

Sedaj lahko napišemo enačbo predhodno določeno ravnino, ki poteka skozi obstoječo točko M `in M in M ​​vsaki točki s koordinatami (x, y, z) vzporedno danem vektorju.

Tako M`M vektorji {X-Y-h` u`-zz`} in M ​​= {x M - h` -u` Y-Z -z`} mora biti v isti ravnini z vektor = (a ', A,), kar pomeni, da (M`M, MM, a) = 0.

Tako bo naša enačba ravnine v prostoru videti takole:

Video: Predavanje 18: Tipi letalo enačbo

Vrsta letalom enačbe, ki prečkajo tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z), ki ne sodijo v isti liniji. Treba je napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke določene. Teorija geometrija trdi, da je ta vrsta ravnini ne obstaja, to je samo eden in edini. Ker ta ravnina seka točko (h`, u`, z`), oblika njene enačbe je, kot sledi:

Tukaj, A, B in C so različni od nič ob istem času. Tudi glede ravnina seka dve točki (x, y, z) in (x, y, z). V zvezi s tem je treba opraviti tovrstne pogoje:

Zdaj bomo lahko ustvarili enoten sistem enačbe (linearno) znan U, V, W:

V našem primeru so X, Y ali Z stoji poljubno točko, ki izpolnjuje enačbi (1). Glede enačbi (1) in sistem enačb (2) in (3) sistem enačb, navedenih v zgornji sliki, vektor izpolnjuje N (A, B, C), ki ni enostavna. To je zato, ker je determinanta sistema enaka nič.

Enačba (1), ki smo jih dobili, je to enačba ravnine. 3. točka je v resnici gre, in to je enostavno preveriti. Da bi to naredili, smo razširili na determinanto z elementi v prvi vrsti. Od obstoječih lastnosti determinanta izhaja, da je naš ravnina hkrati seka tri prvotno vnaprej določeno točko (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z). Zato smo se odločili, da nalogo pred nami.

Ploskovni kot med ravninama

Kot med ploskvama prostorski geometrična oblika tvorjen z dvema polovic ravninama, ki izvirajo iz ravne črte. Z drugimi besedami, del prostora, ki je omejen na pol-ravninah.

Recimo, da imamo dve letalo z naslednjimi enačbami:

Vemo, da je vektor N = (A, B, C) in N¹ - = (A¹-, The¹-, Ci¹-) po vnaprej določenih ravninah so pravokotni. V zvezi s tem kotom &phi- med vektorji N in N¹- enako kot (ploskovni), ki se nahaja med temi ravninah. Skalarni produkt je podana z:

NN¹- = | N || N¹- | cos &phi-,

Video: Video Tutorial "Enačba ravnine s tremi točkami"

prav zato, ker

cos&phi- = NN¹- / | N || N¹- | = (AA¹- + BB¹- + SS¹ -) / ((&radic- (A + B + C)) * (&radic- (A¹-) + (B¹-) + (Ci¹-))).

To je dovolj, da menijo, da je 0&le-&phi-&le-&Pi.

Pravzaprav dveh ravninah, ki sekajo, oblikuje dva kota (ploskovni): &phi-₁ in &phi-₂. Njihova vsota je enaka &Pi (&phi-₁+ &phi-₂= &Pi). Kot je za svoje Kosinus, njihove absolutne vrednosti so enake, vendar so različni znaki, tj cos &phi-₁= -cos &phi-₂. Če v enačbi (0) nadomesti z A, B in C -A, -B in -C zaporedju, enačbe, dobimo, bo določil isti ravnini, edino kota &phi- v enačbi cos &phi- = NN¹/ | N || N¹| To bodo nadomestili &pi--&phi-.

Enačba pravokotna ravnini

Klical pravokotno ravnino, med katerim se je pod kotom 90 stopinj. Uporaba gradiva zgoraj predstavljeno, lahko najdemo enačbo ravnine, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve letali: Ax + By + Cz + D = 0 in A¹-x + B¹-y + C¹-Z + D = 0. Lahko rečemo, da so pravokotno če cos&phi- = 0. To pomeni, da NN¹- = AA¹- + BB¹- + SS¹- = 0.

Enačba vzporedno ploskvijo

To je iz dveh vzporednih ravnin, ki vsebujejo nobenih skupnih točk.

pogoj vzporedni letala (Njuna enačbe so enake kot v prejšnjem odstavku), da so vektorji N in N¹-, ki so pravokotno nanje kolinearni. To pomeni, da so ti pogoji izpolnjeni sorazmernost:

A / A¹- = I /¹- = C / C¹-.

Video: Video Tutorial "Običajna enačba ravnine"

Če se poveča pogoji sorazmernosti - A / A¹- = I /¹- = C / C¹- = DD¹-,

To kaže, da je letalo podatkov o isti. To pomeni, da enačba Ax + z + CZ + D = 0 in A¹-x + B¹-y + C¹-Z + D¹- = 0 opisuje eno ravnino.

Razdalja od točke do ravnine

Recimo, da imamo letalo P, ki je podana z (0). Treba je najti razdaljo od točke s koordinatami (x, y, z) = Q. , Boste morali, da bi enačbo v ravnini II običajnega videza, da bi se:

(&rho-, v) = P (p&GE-0).

V tem primeru, &rho- (x, y, z) je radij vektor našega točki Q, ki se nahaja na n p - n je dolžina navpičnico, ki je izšla iz ničelne točke, proti - je enota vektor, ki je razporejen v smeri a.

razlika &rho--&rho-º- radij vektor iz točke Q = (x, y, z), ki pripada n in radij vektor od točke Q₀= (X, y, z) je vektor obseg PROTI pri kateri je štrlina razdalja d, ki je potrebna, da bi našli izmed Q₀= (X, y, z) P:

D = | (&rho--&rho-⁰,v) |, vendar

(&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-, v) - (&rho-⁰,v) = P (&rho-⁰,v).

Tako se je izkazalo,

d = | (&rho-⁰,v) p |.

Zdaj je jasno, da za izračun razdalje d iz Q₀ na ravni P, je treba uporabiti normalno obliko enačbe ravnine, prehod na levi strani p, in zadnji kraj X, Y, Z nadomestek (x, y, z).

Tako smo ugotovili absolutne vrednosti dobljenega izraza, ki se zahteva d.

Uporaba parametrov jeziku, bomo dobili jasno:

d = | Ax + S + Cz | /&radic- (A + B + C).

Če določeni točki Q₀ To je na drugi strani ravnine P kot izvor, nato pa med vektorjem &rho--&rho-⁰ in v je topim kotom, zato:

d = - (&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-⁰,v) -p>0.

V primeru, točka Q₀ skupaj z izvorom, ki se nahaja na isti strani U, se ustvari ostri kot, ki je:

d = (&rho--&rho-⁰,v) = P - (&rho-⁰, v)>0.

Posledica tega je, da v prvem primeru (&rho-⁰,v)>p, drugi (&rho-⁰,v)<р.

In njena tangenta letalo enačba

V zvezi s ploskovno ravnino na točko dotika Mº- - je ravnina, ki vsebuje vse možne tangento na krivuljo, ki poteka skozi točko na površini.

S to površinsko obliko enačbe F (x, y, z) = 0 v enačbi tangentna tangentno točko Mº- (xº-, vº-, zº-) bi bil videti takole:

F_x(xº-, vº-, zº -) (x-xº -) + F_x(xº-, vº-, zº -) (Y Yº -) + F_x(xº-, vº-, zº -) (Z-Zº -) = 0.

Če je površina določena izrecno Z = f (x, y), potem je tangentna opisana z enačbo:

z-zº- = f (xº-, vº -) (x-xº -) + f (xº-, vº -) (Y Yº-).

Video: Video Tutorial "Splošna enačba ravnine"

Presečišče dveh letal

tridimenzionalni prostor je koordinatni sistem (pravokotni) Oxyz, ker dva P` ravni P, in ki se sekata ali sovpadata. Od vseh letal, ki je v pravokotni koordinatni sistem, ki ga opredeli splošne enačbe, predpostavimo, da se P` in n podana z enačbami A`h V`u + + S`z + d` = 0 in A x + B y + z + C D = 0. V tem primeru imamo normalno n` (A`, in`, s`) P` ravnina normalno N (A, B, C) ravnina n. Ker so naše letalo ni vzporedna in ne sovpadajo, potem ti vektorji niso kolinearne. Uporaba jezika matematike, smo ta pogoj lahko zapišemo kot: n`&ne- n &harr- (A`, in`, s`) &ne- (&lambda- SMO&lambda- * B&lambda- * C) &lambda- R. Naj ravno črto, ki leži na stičišču P` in P bodo označene z črko a, v tem primeru a = P` &cap- II.

in - linijo sestoji iz množice točk (skupno) P` in R ravninah. To pomeni, da koordinate poljubne točke pripada v ravnini A, mora hkrati izpolnjevati enačbo A`h V`u + + S`z + d` = 0 in A x + B y + C Z + D = 0. To pomeni, da bodo koordinate točke večje posebno raztopino naslednjih enačb:

Posledica tega je, da bo rešitev (splošno) tega sistema enačb določi koordinate vsake točke na progi, ki bo deloval P` in presečišče točke P, in določiti premica v koordinatnem sistemu Oxyz (pravokotni) prostora.